pourquoi la théorie de la mesure est, pour moi, la plus jolie théorie
On me demande souvent pourquoi la théorie de la mesure est pour moi la plus jolie théorie des mathématiques…
Il m’est impossible de répondre simplement. Seulement à la différence de Riemann, le cas d’une fonction intégrable est beaucoup plus intuitif et plus général, voire un peu plus facile pour un esprit tordu comme le mien. Comprenez par là que l’intégrale de Riemann ne fonctionne que sur des segments de R ou pavés de Rk, alors que pour la théorie générale de l’intégration on intègre implicitement sur tout l’espace mesurable puis si après on souhaite avoir un ‘segment de R’ on multiplie la fonction par une indicatrice.
Pour comprendre ceci il faut comprendre 2 choses essentielles :
Primo : on trouve des propriétés non pas sur tout un espace mais, et c’est plus fort encore, sur toute tribu composant l’espace. D’ailleurs un espace Ώ est dit mesurable si une tribu, le ‘parcourt’, le terme est impropre mais résume assez bien.
Secundo : Imaginez vous chez votre boulanger préféré, vous devez payer votre baguette de pain, pour cela que faites-vous sans même réfléchir ? vous prenez les pièces dans un ordre précis, par exemple pour payer 2.99€ vous sortez une pièce de 2 €puis après 50centimes, ensuite 2 pièces de 40 centimes, une de 5 centimes et 2 de 2 centimes (çà c’est l’integrale de Lebesgue) alors que Riemann lui ouvre son porte monnaie, et donne les pièces telles qu’elles sortent, sans logique apparente, ce qui peut prendre pas mal de temps pour le règlement de la baguette….
Mais ceci n’est pas tout. La théorie de l’intégration, permet de permuter beaucoup plus facilement les limites, intégrales.
La théorie est si riche et excitante que je vais, après avoir ré-expliquer un peu plus le langage mathématiques, tenter une vulgarisation… qui aux vues de ce petit texte risque d’être très long car il faut développer des notions : d’ensemble, de tribu, d’espace, de borélien, tribu engendrée etc… en y allant par étapes çà devrait être possible.