parlez vous les maths (1): les mots qui rangent les idées

Il m’arrive parfois en expliquant des concepts ou des parties de cours en mathématiques de voir des visages hébétés ou de lire parfois des horreurs.
C’est pourquoi je vais remettre un peu les choses à plat calmement.
Avant toute chose, en maths contrairement à toute autre discipline on cherche une rigueur qui coupe court à toute interprétation. Les matheux fuient les discussions. C’est pourquoi même leurs mots sont rangés, triés, et écris après une mûre réflexion.
Il m’arrive d’entendre des : « mais c’est pareil un Lemme et un Théorème ». Ou alors « pourquoi il parle de conjecture si c’est un théorème ? » 

Il faut comprendre qu’un Lemme est un calcul pénible qui peut se réutiliser dans une autre théorie, mais avant toute chose çà sert immédiatement après dans la démonstration d’un Théorème. C’est, pour faire simple, une astuce technique longue, périlleuse à démontrer qu’on utilise dans une démonstration de théorème.

Alors qu’un Théorème ne peut s’utiliser que dans la partie des maths dans laquelle il est énoncé. On voit clairement qu’un théorème de probabilité n’a pas sa place dans une théorie d’analyse des fonctions holomorphes... De plus un théorème se compose de 2 parties distinctes (et NON miscibles!! même quand on agite très fort!!! et qu'on le retourne):
- les hypothèses
- Les conséquences des l’hypothèses dans la théorie.

Enfin, une conjecture est une propriété dans exercice que l’on pense vraie mais qui ne se démontre pas et qui en plus n’est pas généralisable.

Exemple
Lemme : (a+b)²=a²+2ab+b²
Démonstration il suffit de développer (a+b)(a+b) et de ranger les termes.
(oui je sais pas cela n’est pas technique du tout mais j’ai que çà sous la main !! )

Théorème si ABC forme un triangle rectangle d’hypoténuse C dans un plan orthonormé alors a²+b²=c².

Preuve : considérons le carré (ABCD) mettons un autre carré (EFGH) dans (ABCD) tel que les sommets de (EFGH) soient sur (ABCD) et les barycentres de (ABCD) et (EFGH) soient confondus. Posons c la longueur des cotés de (EFGH). On remarque que chaque coté de (ABCD) est coupé de manière identique en deux parties que l’on notera a et b. On voit alors que l’aire de (ABCD) =(a+b)²=aire (EFGH)+ 4* aire du triangle (EFA).
Par le lemme on a que (a+b)²=a²+b²+2ab
Aire de (EFGH)= c²
Aire de (EFA) = ab/2.
Donc en résumé on a :
a²+b²+2ab=c²+4ab/2
d’où a²+b²=c²
CQFD

Exemple de conjecture :
Si on définit Un n€N de la sorte : Un+1 = {Un/2 si Un est paire et 3Un+1 sinon } alors quelque soit U0, la suite Un est une suite bornée et convergente.
bon alors çà c'est impossible à démontrer, bien que çà paraisse très con comme çà.