La réponse à l’interrogation nocturne, est bien évidemment : Non.
En effet, on définit l’orthogonalité dans un espace Euclidien (ou pré-Hilbertien, c'est-à-dire un espace muni d’un produit scalaire) que comme nullité du produit scalaire de vecteur de la base. Ce qui mathématiquement peut s’écrire comme :
Pour tout i entier naturel inférieur à n (la dimension de l’espace considéré), pour tout j différent de i, <ei,ej>=conj(<ej,ei>)=0 équivaut à {e1,…,en} forme une base orthogonale.
Donc il suffit de construire un produit scalaire qui s’annule pour une configuration de vecteur particulière, et ensuite construire un espace avec. On aura bien un espace orthogonal avec des vecteurs de la base ne formant pas un angle de 90°.
Que faut il rajouter pour que cette affirmation soit juste ?
Il faut définir le produit scalaire naturel : <x,y>=xHy. (ou xH est le conjugué de la transposée de x)
