Connexité ou Convexité ?
tout ceux qui commencent soit la Topologie, soit l'analyse complexe, soit l'integration, doivent s'arracher les cheveux sur la définition de Connexité et sa cousine: la convexité.
Qu'est ce qu'un espace connexe?
C'est tout bêtement un espace où quelque soit deux points pris au hasard a l'intérieur, j'arriverai toujours a les relier par un parcours plus ou moins simple qui ne sortira pas de l'ensemble.
un dessin etant plus clair voici un espace connexe.
Quelle est la différence entre Connexe et Convexité?
La différence est subtile. On remarque qu'on a mis aucunes hypothèses sur le chemin autre que : " çà ne doit pas sortir de E" pour la connexité. C'est pourquoi la convexité rajoute une hypothèse supplémentaire : " il faut que ce chemin soit une droite".
On voit tout de suite que si E est un espace de R s'il est connexe alors il est convexe. Par contre les choses se gattent tout de suite quand on passe en R² et Rn.
Un dessin valant mieux que des longs discours voici un espace connexe mais pas convexe.
L'espace E est bien connexe car on a trouvé un chemin qui relie les points A et B, sans Sortir de E, mais si je veux absolument tracer une droite entre A et B je suis obligé de sortir de E.
L'utilité de tout çà.
en intégration complexe on sait que si on définit un espace E connexe inclus dans C, et si f est une fonction holomorphe et toujours définie sur E alors l'intégrale de f sur n'importe quel circuit fermé de E est égale a 0.
Qu'est ce qu'un espace connexe?
C'est tout bêtement un espace où quelque soit deux points pris au hasard a l'intérieur, j'arriverai toujours a les relier par un parcours plus ou moins simple qui ne sortira pas de l'ensemble.
un dessin etant plus clair voici un espace connexe.
Quelle est la différence entre Connexe et Convexité?
La différence est subtile. On remarque qu'on a mis aucunes hypothèses sur le chemin autre que : " çà ne doit pas sortir de E" pour la connexité. C'est pourquoi la convexité rajoute une hypothèse supplémentaire : " il faut que ce chemin soit une droite".
On voit tout de suite que si E est un espace de R s'il est connexe alors il est convexe. Par contre les choses se gattent tout de suite quand on passe en R² et Rn.
Un dessin valant mieux que des longs discours voici un espace connexe mais pas convexe.
L'utilité de tout çà.
en intégration complexe on sait que si on définit un espace E connexe inclus dans C, et si f est une fonction holomorphe et toujours définie sur E alors l'intégrale de f sur n'importe quel circuit fermé de E est égale a 0.
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