une premiere approche

Publié le 17 octobre 2005 par Evariste Galois

J’aimerais vous parler d’une discipline «nouvelle ». Sa formalisation strict date des années 1960, mais on en trouve des traces et mêmes des bout de théories bien avant. Je ne saurais vous conseiller le très bon ouvrage de M Borel sur le Poker (version simpliste du poker en trois cartes) qui est très très pointu au niveau des maths et qui avant les concepts d’équilibre permet de bien comprendre l’utilité d’une telle discipline dans la vie de tous les jours.
L’essor de la discipline s’est fait suite a un jeu simple : le dilemme du Prisonnier.

Quel est le but de cette discipline ?

Comme son nom ne l’indique pas, il faut trouver le coup qui « permet de gagner a coup sûr ».
Mais pour attendre ce fameux coup il faut prendre quelques hypothèses qui rende toute cette jolie théorie un peu inutilisable dans la vie de tous les jours.
En effet, il y a trois hypothèses fondamentales :
Les joueurs sont tous égoïstes.
Les joueurs sont des êtres supra rationnels.
Les joueurs cherchent toujours maximiser son gain.

Comment les mathématiques peuvent intervenir dans quelque chose d’aussi vaste et peu accessible. Simplement un peu comme au début de la Topologie on classe les objets par propriétés simple, en théorie on a séparé les jeux e, fonction qu’ils soient coopératif ou non, des jeux a somme nulle, ou non etc…Puis on a formalisé le Jeu lui-même.

Qu’est ce qu’un jeu axiomatiquement ?

Un jeu est une série d’actions basées sur des règles que bien sûr l’homo œconomicus ne transgresse jamais. On sent bien qu’il existe une relation presque évidente entre le jeu et la règle, si on veut jouer il faut au moins savoir à quoi et comment.

Une règle de jeu se définit comme ceci :

* Joueurs notés N={1,2,3,…,n} le nombre de joueurs sera donc Card{N}=n

* stratégies possibles par exemple dans le dilemme du prisonnier S_i ={‘dénoncer’, ‘se taire’}. L’ensemble de toutes les stratégies sera donc S= π S_i,.

* les gains pour les joueurs c'est-à-dire quand ils gagnent et combien. Nous utiliserons la notation suivante U_i(S_i,S_-i) qui est le gain pour la personne i quand elle joue Si et que les autres joueurs jouent leur stratégie. Nous considérons aussi S_-i le vecteur privé du i^eme élément. S_-i=(S₁,S₂,S₃,…S_i-1,S_i+1,….,S_n-1,S_n)

Un exemple avant d’aller plus loin : Le dilemme du prisonnier

On a deux personnes qui ont dévalisé une banque sans laisser aucune trace. Mais il se font arrêter pour un motif quelconque et les policiers ont de gros doutes sur eux alors ils séparent les deux compères et les interrogent a part. les cambrioleurs sûr d’eux de parle pas. Alors la police a cette idée là : si personne ne parle ils auront 1 ans de prison ferme tout les deux, si l’un dénonce mais pas l’autre, le dénonciateur aura 0 et l’autre 10, si les deux se dénoncent mutuellement ils purgent 5 ans de prisons.

Donc si on devait donner les règles du jeu on aurait ceci

N={1,2}

S_i={parler, taire}

Les gains seraient plus complexes à formuler car ils dépendent de ce que fait l’autre.

Mais on aurait U_i(T,T)=1, U_i(P,T)=0, U_i(T,P)=10, U_i(P,P)=5.

On peut résumer le jeu avec ce tableau

	dénoncer	Taire
Dénoncer	5/5	0/10
Taire	10/0	1/1

_{En colonne on a le joueur 1 et en ligne le joueur 2.}

Pourquoi ce jeu est a la base de toute une théorie qui a tout révolutionné dans le monde moderne de l’économie ?

Simplement ici le jeu a un comportement très spécial. Déjà avant c’est un jeu purement non coopératif, car si on dénonce on a toujours moins que si on coopère avec son complice.Mais n’oublions pas l’hypothèse crucial dans cette théorie : nous sommes très rationnel.

Donc tentons de rationaliser notre choix.Je vois que si je ne dénonce pas je prends le risque de me faire d énoncer et donc prendre 10 ans de prisons… on se doute que le joueur préférera avoir 1 an de prisons plutot que 10ans.alors que si il dénonce il sait qu’il fait au plus 5 ans de prisons. C’est bien plus élevé que l’unique année s’il se taisait, oui mais si le joueur 2 se tait (ce qui le place dans la situation qu’un an de prison) dans cette configuration il ne fera pas de prison. Donc quoi qu’il se passe il jouera la dénonciation. L’autre joueur étant lui aussi rationnel, fera le même raisonnement donc dénoncera.

Le problème évident est que le manque de coopération fait que les joueurs feraient moins de prisons si il coopérait. Ce qui pour la première fois en économie prouver formellement que le libéralisme économique pouvait porter préjudice à l’intérêt général.

Nous verrons prochainement un dégradé de stratégies et de points particuliers.