problème de mathématiques 3

Publié le par Evariste Galois

Voilà après un retour de week end agité, je vous reviens avec un nouveau problème en mathématiques.
C'est un peu compliqué, mais très rigolo.

Soient A,B,C trois points non alignés et non confondus du plan. On construit une suite telle que : M0=A M1=B M2=C et Mn= ISOBAR{Mn-1; Mn-2; Mn-3}. Cette suite converge t elle? et si oui vers quel point du plan ?
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Publié dans science

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Etienne
11/10/2006 21:19
Il y a quelques coquilles dans mon message précédent (la dernière phrase où il manque quelques mots, un ^n qui s'est dérobé).J'avais remarqué que la formule était la même pour les abscisses et les ordonnées, mais comme les racines de l'équation caractéristique de la suite ne sont pas toutes réelles, finalement, je doute qu'on y gagne beaucoup à ne pas tout passer en complexe pour les coordonnées de A, B et C. On doit pouvoir résoudre la chose en remplaçant les relations barycentriques à la main, mais ça doit être assez pénible. En tout cas, je ne vois pas vraiment un moyen de résoudre purement géométriquement ce problème...(Je penserai à faire la calcul de k, mais ça m'a l'air franchement pas beau.)
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E
Etienne
11/10/2006 15:32
Est-ce que je suis autorisé à faire des calculs barbares en passant par les coordonnées a,b et c de A, B et C dans le plan complexe et à étudier la suite (u_n) récurrente linéaire d'ordre 3 définie par :u_0=au_1=bu_2=c\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+3}=(u_n+u_{n+1}+u_{n+2})/3. (Il y a des chances que ça converge puisque les trois racines - simples - de l'équation 3*r^3-r^2-r-1 sont 1, \alpha_1 et \alpha_2 avec |\alpha_i|
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E
Evariste Galois
11/10/2006 20:57
En fait je ne suis pas plus avancé que toi. J'ai utilisé une matrice compagnon pour faire quelque chose mais en fait je ne suis pas passé par les complexes (car j'ai remarquer que c'etait la meme forme de formule pour les abscisses et les ordonnées).Mais je ne trouve pas de méthode éléguante pour répondre a la question alors...ceci dit on remarque que les coordonnées du 3ième point sont les plus importantes et tirent vers elle le point de convergence du Barycentre.alalala si un mathématicien de la trempe de M Vigoureux pouvait repasser ici... çà serait le paradis ;o)