la réponse au problème d'arithmétique

Ce problème était particulièrement dur. Il fallait utiliser et savoir parfaitement tirer profit de multiples calculs modulo 11. Je ne sais pas si il existe d’autres méthodes mais je propose celle-ci :

 Il faut que n²=aabb donc on peut légitimement affirmer que n<100.

n²=aabb=11(100a+b)

On a n²=0[11], comme 11| n² on a 11 divise n.

Il existe k appartenant à N tel que n=11k. n²=11²k²=11(100a+b)

d’où 11 k²=100 a + b (*) or 100a = a [11]. Il s’en suit que 11 k² = a+b [11] d’où finalement a+b=0 [11].

Comme 0<a,b<10 on a   2 ≤ a+b ≤ 18, on sait que a+b=11, ou écrit autrement : b =11-a.

 En remplaçant dans la formule (*), on obtient : 11k²=100 a + 11 – a = 99 a +11 =11 (9a+1).

Il suffit de passer en revue tous les a entre 1 et 9.

Si a =1 (9+1)=10 et 10 n’est pas un carré entier.

Si a =2 (9*2+1)=19 et 19 n’est pas un carré entier.

Si a =3 (9*3+1)=28 et 28 n’est pas un carré entier.

Si a =4 (9*4+1)=37 et 37 n’est pas un carré entier.

Si a =5 (9*5+1)=46 et 45 n’est pas un carré entier.

Si a =6 (9*6+1)=55 et 55 n’est pas un carré entier.

Si a =7 (9*7+1)=64 et 64 est le carré de 8.

Si a =8 (9*8+1)=73 et 73 n’est pas un carré entier.

Si a =8 (9*9+1)=82 et 82 n’est pas un carré entier.