Les économistes et les maths

Dans la semaine, suite aux conseils répétés d’un ami, je me suis aventuré dans un livre d’économie. Après quelques pages de doutes sur les propos de l’auteur, je vois une explication plus habituelle pour moi.

Les arguments étaient a peu près ceux ci :
On sait que l’individu 1 va devoir maximiser sa fonction (note : ici la fonction est une fonction f : ([0,1]x[0,1]) -->R²) alors je sais qu’il faut la dériver.
L’économiste pas gêné déjà de sa première erreur dérive joyeusement conclu: pour maximiser f il faut nécessairement que l’on ait f ’(x)=0. (ah bon premier choc pour moi).
Sa fonction devait être du style f(x,y)= axy+bx+cy. Il dérive par rapport a x, obtient : ay+b et résout : ay+b=0.
Là déjà je comment a me dire : comment un mec peut oser salir les maths comme çà !
Il trouve normalement y= -b/a, et conclut que f(x,y) est maximale quand y = -b/a.
Je me demande quelle est la logique de l’auteur ? car si il dérive par rapport a x, il doit trouver que « le maximum est atteint pour un x= constante » et non un y=constante.

Bien que les calculs soient très justes, je me permets rappeler comment on fait:

On voit premièrement que la fonction est définie sur un compact, qu’elle est continue, donc forcément elle est bornée et atteint ses bornes. Mais là où l’attirail mathématique s’arrête c’est bien ici. Pourquoi allez vous me dire. Simple on remarque que f(x,y) est une affine pour x donc pour faire simple on peut écrire le comportement de f par rapport a x comme suit Ax+B avec B=cy et A=(ay+b).
De là on en déduit que f(x) est strictement croissante ou décroissante en fonction du signe de A (tout de même différent de 0).
Si A>0 le maximum de f(x)≤f(1) et si A<0, f(x)≤f(0), et si A=0 f(x)=constante.
En procédant de même pour f(y) on trouvait une solution identique.

Maintenant ses points sont ils vraiment des maxima locaux ? 

Clairement oui. On peut essayer des conditions du second ordre pour se rassurer.
Pour cela je note f_x= la dérivée seconde de f par rapport a x et f_y la dérivée seconde par rapport a y et f_xy la fonction une fois dérivée par x et après redérivée par y (bien sur on aura pris soin avant de dire que f est bien de classe C² et que f_xy=f_yx car sinon on dirait de grosses énormités ! )
Et on regarde le signe de f_x≠0 et f_xf_y-(f_xy)² ≠0 (tout ceci est issu d’un développement de Taylor à l’ordre 2) et là on peut conclure que le maximum est atteint pour l’un des couples de points{(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)} en fonction du signe des signes de A_x et A_y…
Je ne traite pas le cas A=0…ce qui est bien loin du –b/a non ?